ANALYSE MATHéMATIQUE

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L'analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s'était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du xviiie?siècle, avant tout Euler et Lagrange. à partir de 1800, cette diversification s'accentue encore et s'accompagne d'un nouvel état d'esprit. Nous allons essayer, dans cet article, de donner une vue d'ensemble de cette évolution au cours du xixe?siècle et au début du xxe?siècle, en renvoyant pour les détails aux articles spécialisés.

Il est difficile de décrire en une phrase l'??analyse moderne??, aboutissement de cette évolution?; en la prenant dans son acception la plus large, on peut dire que l'on fait de l'analyse lorsqu'on calcule sur les notions de limite ou de continuité?; il y a donc fort peu de parties des mathématiques où l'analyse n'intervienne sous une forme ou une autre.

Mais ce qui distingue l'analyse mathématique actuelle, c'est, d'une part, qu'au lieu de limiter les domaines décrits par les ??variables?? et les valeurs des fonctions à des ouverts dans les espaces Rn elle peut envisager le cas où ces domaines sont des variétés différentielles quelconques?; et, d'autre part, qu'elle s'appuie dans une large mesure sur les résultats généraux d'algèbre et de topologie qui forment l'armature de la théorie des espaces fonctionnels.

La théorie des fonctions analytiques

La notion de fonction remonte au xviie?siècle?; mais jusque vers 1800, on admettait généralement qu'une fonction f d'une variable réelle, définie dans un intervalle, était indéfiniment dérivable, sauf en un nombre fini de points exceptionnels. On peut, pour une telle fonction, et pour tout point non exceptionnel x0, former la série de Taylor de f au point x0?:

et comme les idées sur la convergence des séries étaient restées des plus floues, on admettait que la fonction ??était?? sa série de Taylor au voisinage du point x0. L'usage de plus en plus répandu des [...]


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ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

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BOURGAIN JEAN (1954-2018)

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CANTOR GEORG (1845-1918)

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Dans le chapitre ??Vie de Georg Cantor?? ?: […] Georg Cantor na?t le 3?mars 1845 à Saint-Pétersbourg. Son père est un homme d’affaires fortuné et cultivé, fervent luthérien, attentif à l’éducation scientifique, artistique et religieuse de ses enfants. Sa mère, Marie B?hm, appartient à une famille de violonistes célèbres ; Franz B?hm, son père, était le soliste de l’orchestre impérial de Russie. En 1856, la famille s’établit à Francfort-sur-le-M […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Jean?DIEUDONNé, ??ANALYSE MATHéMATIQUE??, Encyclop?dia Universalis [en ligne], consulté le 28 septembre 2020. URL?: http://www.bonoaldea.com/encyclopedie/analyse-mathematique/

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