Topologie



ALGÈBRE

  • écrit par?
  • Jean-Luc VERLEY
  • ?? 7?143 mots

La continuité des opérations algébriques est d'usage courant dans l'analyse classique?; depuis le début du xixe?siècle, en liaison avec l'introduction des nouveaux êtres mathématiques considérés plus haut, les mathématiciens allaient rencontrer dans de nombreux problèmes de nature variée des ensembles munis d'une notion de convergence et de lois de co […] Lire la suite

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • écrit par?
  • Jean DIEUDONNé
  • ?? 8?527 mots

La notion de limite est la base même du calcul infinitésimal?; mais, bien que certains d'entre eux, dont d'Alembert, aient approché d'une définition pour nous correcte, les mathématiciens du xviiie?siècle étaient hors d'état de développer une théorie mathématique rigoureuse du ??calcul??, sur le modèle de la géométrie grecque, et devaient se contenter […] Lire la suite

COMPACITÉ, mathématique

  • écrit par?
  • André WARUSFEL
  • ?? 1?019 mots

La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussit?t après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté nécessaire aux infiniment petits du […] Lire la suite

CONNEXITÉ, mathématique

  • écrit par?
  • André WARUSFEL
  • ?? 978 mots

L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ? des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus importan […] Lire la suite

CONTINUITÉ, mathématique

  • écrit par?
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  • ?? 1?237 mots

L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des espaces topol […] Lire la suite

FONDEMENTS DE LA TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE (H. Poincaré)

  • écrit par?
  • Bernard PIRE
  • ?? 198 mots
  • ?? 1 média

Henri Poincaré (1854-1912) est considéré comme l'inventeur de la topologie algébrique et différentielle. L'Analysis situs, ou géométrie de situation, qu'il développe à partir de 1894, alors qu'il est professeur à la Sorbonne et à l'école polytechnique, concerne les propriétés invariantes d' […] Lire la suite

LIMITE (mathématique)

  • écrit par?
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  • ?? 1?161 mots

La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de […] Lire la suite

MÉTRIQUES ESPACES

  • écrit par?
  • Jean-Luc VERLEY
  • ?? 6?080 mots
  • ?? 1 média

La notion d'espace métrique, introduite en 1906 par M.?Fréchet et développée peu après par F.?Hausdorff, est directement issue d'une analyse des principales propriétés de la distance usuelle. L'extension aux espaces métriques des propriétés de l'espace euclidien qui sont définissables à partir de la distance seule introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d'analyse et de théori […] Lire la suite

N?UDS ET TRESSES (mathématiques)

  • écrit par?
  • Bernard PIRE
  • ?? 373 mots

La théorie mathématique des n?uds et des tresses naquit de l'idée du physicien britannique William Thomson, aussi connu sous le nom de lord Kelvin, qui en 1869 proposa de décrire la matière à partir de tubes d'éther tressés. Son collaborateur Peter Guthrie Tait entreprit dès 1876 de classifier tous les n?uds. Il définit d'abord les diagrammes de n?uds, […] Lire la suite

N?UDS (THÉORIE DES)

  • écrit par?
  • Jean BRETTE
  • ?? 1?904 mots
  • ?? 11 médias

Depuis le xixe?siècle, les mathématiciens étudient les n?uds, et des objets voisins comme les cha?nes ou les tresses, afin de comprendre leur géométrie, de les comparer et de les classer.Intuitivement et mathématiquement, deux n?uds sont dits équivalents si l'on peut déformer l'un pour lui donner la forme de l'autre. Si l'on s'en tient au sens commun, […] Lire la suite

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • écrit par?
  • Robert ROLLAND,?
  • Jean-Luc VERLEY
  • ?? 5?845 mots

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xxe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D.?Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des […] Lire la suite

RUBAN DE MÖBIUS (topologie)

  • écrit par?
  • Bernard PIRE
  • ?? 184 mots
  • ?? 1 média

Dans un mémoire, présenté à l'Académie des sciences mais qui ne fut découvert qu'après sa mort, August Ferdinand M?bius (1790-1868) discute les propriétés de surfaces unilatères, c'est-à-dire n'ayant qu'une seule face et une seule frontière. Il cite en particulier le paradoxal ruban qui porte son nom et qu'il a étudié en 1858 alors qu'il répo […] Lire la suite

SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

  • écrit par?
  • Alain CHENCINER
  • ?? 9?832 mots
  • ?? 19 médias

De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les ??singularités?? ont bien des incarnations en mathématiques?; mais cela n'exclut pas une certaine unité?: qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maxi […] Lire la suite

THÉORIE DES ESPACES TOPOLOGIQUES ET MÉTRIQUES

  • écrit par?
  • Bernard PIRE
  • ?? 414 mots

Lemathématicien allemand Felix Hausdorff a longtemps hésité entre les carrières musicale, littéraire et scientifique?; sa pièce de théatre satirique écrite en 1904 a même rencontré un certain succès puisqu'elle sera jouée plusieurs centaines de fois jusqu'en 1930. à partir de 1902, il est à la fois enseignant dans une école de commerce et à l'univers […] Lire la suite

TOPOLOGIE - Topologie algébrique

  • écrit par?
  • Claude MORLET
  • ?? 8?119 mots
  • ?? 1 média

Inventée au début du xxe?siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grace à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la première partie (chapitres?1 à 5), les problèmes géométriques sont t […] Lire la suite

TOPOLOGIE - Topologie générale

  • écrit par?
  • Claude MORLET
  • ?? 4?161 mots
  • ?? 3 médias

Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente?T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire?: Si M varie sur Γ, la corde M0M varie contin?ment et, si M tend vers M0, la corde M0M a une pos […] Lire la suite

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • écrit par?
  • Claude MORLET
  • ?? 9?807 mots
  • ?? 7 médias

On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B.?Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde?; elle fut longuement développée par les géomètres du xix […] Lire la suite


Affichage?

Déformation des n?uds

dessin : Déformation des n?uds

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Les trois premiers n?uds sont équivalents. Le passage de a à b se fait dans le plan par déformation des brins; celui de a à c requiert l'espace; le n?ud d ne leur est pas équivalent.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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N?ud trivial

dessin : N?ud trivial

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Le n?ud trivial. Ces diagrammes possèdent 0, 1 ou 2 croisements, mais ils correspondent en fait au même et unique n?ud: le n?ud trivial, d'ordre?0; il n'existe donc pas de n?ud d'ordre 1 ou 2.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Premiers n?uds de la classification de Tait

dessin : Premiers n?uds de la classification de Tait

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Les premiers n?uds de la classification de Tait.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Produit de deux n?uds

dessin : Produit de deux n?uds

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Le produit de deux n?uds.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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N?ud de trèfle et n?ud en huit

dessin : N?ud de trèfle et n?ud en huit

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N?ud de trèfle et n?ud en huit. Les variantes droite et gauche du n?ud de trèfle ne sont pas équivalentes. Par contre, celles du n?ud en huit le sont; un tel n?ud est dit réflexif.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Comment faire un n?ud de trèfle

dessin : Comment faire un n?ud de trèfle

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Comment faire un n?ud de trèfle. Le n?ud de trèfle peut être obtenu en recollant les extrémités supérieures et inférieures de cette tresse à deux brins.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Mouvements de Reidemeister

dessin : Mouvements de Reidemeister

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Les mouvements de Reidemeister. Deux diagrammes représentent le même n?ud si et seulement si l'on peut passer de l'un à l'autre à l'aide d'un nombre fini de mouvements de type I, II ou III."?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Relation de Conway

dessin : Relation de Conway

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La relation de Conway. Si les n?uds ou cha?nes N+, N- et N0 ne diffèrent qu'en un seul croisement, comme indiqué ici, leurs polyn?mes d'Alexander sont liés par la relation: ?(N+) - ?(N-) + (t1/2 - t-1/2)...?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Exemples du calcul du polyn?me HOMFLY

dessin : Exemples du calcul du polyn?me HOMFLY

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Deux exemples du calcul du polyn?me HOMFLY. a) Polyn?mes de cercles séparés; b) Polyn?me du n?ud de trèfle droit.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Régions associées à un croisement et états correspondants

dessin : Régions associées à un croisement et états correspondants

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Les régions associées à un croisement, et les deux états correspondants.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Exemples d'états du n?ud de trèfle

dessin : Exemples d'états du n?ud de trèfle

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Deux exemples d'états du n?ud de trèfle. Il en existe 6 autres.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Construction de la courbe de Peano

dessin : Construction de la courbe de Peano

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Construction de la célèbre courbe de Peano?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

dessin : Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable, de la forme f(x) = a + bx2.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Caractère universel d'une famille transverse

dessin : Caractère universel d'une famille transverse

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Caractère universel d'une famille transverse.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Stabilité d'une famille transverse

dessin : Stabilité d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse.?

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Construction de l'application DA(e)

graphique : Construction de l'application DA(e)

graphique

Construction de l'application DA(e).?

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Orbite de codimension 1

dessin : Orbite de codimension 1

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Exemple d'orbite de codimention 1 de Ca (N, R) formée de fonctions de Morse ayant deux valeurs critiques égales.?

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Déformation continue d'un germe

dessin : Déformation continue d'un germe

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Problèmes liés à la définition d'une déformation continue d'un germe.?

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Théorème de déformation verselle

graphique : Théorème de déformation verselle

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Démonstration du théorème de déformation verselle.?

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Point de non-transversalité

dessin : Point de non-transversalité

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Exemple de point de non-transversalité.?

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Déploiement universel de x vers x3

graphique : Déploiement universel de x vers x3

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Déploiement universel de x → x3.?

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Cusp

dessin : Cusp

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Déploiement universel de x → x4 (cusp).?

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Queue d'aronde

dessin : Queue d'aronde

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Déploiement universel de x → x5 (queue d'aronde).?

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Déploiement universel de l'ombilic elliptique

dessin : Déploiement universel de l'ombilic elliptique

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Déploiement universel de l'ombilic elliptique.?

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Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique

dessin : Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique

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Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique.?

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Déformation universelle d'un point épais

dessin : Déformation universelle d'un point épais

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Déformation universelle d'un point ??épais?? d'équation x3 = 0.?

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Fibration de Milnor

dessin : Fibration de Milnor

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Fibration de Milnor.?

Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Pli et fronce

dessin : Pli et fronce

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Germes d'applications stables de R2 dans R2?: pli en a, fronce en b.?

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Théorème du nice range

graphique : Théorème du nice range

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Le théorème dit ??The nice range??.?

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élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction

dessin : élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction

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Modèle géométrique d'élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction.?

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Tangente à une courbe

dessin : Tangente à une courbe

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Définition de la tangente à une courbe.?

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Espaces topologiques : recollement

dessin : Espaces topologiques : recollement

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Recollement des espaces topologiques.?

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Espace projectif réel P2 (R)

graphique : Espace projectif réel P2 (R)

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Topologie de l'espace projectif réel P2 R)(?

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Complexes simpliciaux

dessin : Complexes simpliciaux

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Exemples de complexes simpliciaux?

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Bande de M?bius

dessin : Bande de M?bius

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Découpage d'une bande de M?bius suivant une ligne située au milieu de la largeur ou suivant une ligne située au tiers de la largeur?

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Carte de la sphère S2

dessin : Carte de la sphère S2

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Cartes de la sphère S2?

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Cylindre et bande de M?bius

dessin : Cylindre et bande de M?bius

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Construction d'un cylindre et d'une bande de M?bius par recollement d'une bande de papier?

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Courbe de longueur minimum

dessin : Courbe de longueur minimum

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Propriétés d'une courbe de longueur minimum?

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Sphère de Riemann

dessin : Sphère de Riemann

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Géométrie de la sphère de Riemann?

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Géométrie de Lobatchevski

dessin : Géométrie de Lobatchevski

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Géométrie de Lobatchevski?

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Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)

dessin : Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)

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Variation d'un vecteur par transport parallèle le long d'une courbe fermée?: cas de la sphère de Riemann.?

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Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)

dessin : Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)

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Variation d'un vecteur par transport parallèle le long d'une courbe fermée?: cas du demi-plan de Lobatchevski.?

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Déformation des n?uds

Déformation des n?uds
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N?ud trivial

N?ud trivial
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Premiers n?uds de la classification de Tait

Premiers n?uds de la classification de Tait
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Produit de deux n?uds

Produit de deux n?uds
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N?ud de trèfle et n?ud en huit

N?ud de trèfle et n?ud en huit
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Comment faire un n?ud de trèfle

Comment faire un n?ud de trèfle
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Mouvements de Reidemeister

Mouvements de Reidemeister
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Relation de Conway

Relation de Conway
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Exemples du calcul du polyn?me HOMFLY

Exemples du calcul du polyn?me HOMFLY
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Régions associées à un croisement et états correspondants

Régions associées à un croisement et états correspondants
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Exemples d'états du n?ud de trèfle

Exemples d'états du n?ud de trèfle
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Construction de la courbe de Peano

Construction de la courbe de Peano
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Jets d'une fonction quadratique d'une variable
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Caractère universel d'une famille transverse

Caractère universel d'une famille transverse
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Stabilité d'une famille transverse

Stabilité d'une famille transverse
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Construction de l'application DA(e)

Construction de l'application DA(e)
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Orbite de codimension 1

Orbite de codimension 1
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Déformation continue d'un germe

Déformation continue d'un germe
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Théorème de déformation verselle

Théorème de déformation verselle
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Point de non-transversalité

Point de non-transversalité
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Déploiement universel de x vers x3

Déploiement universel de x vers x3
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Cusp

Cusp
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Queue d'aronde

Queue d'aronde
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Déploiement universel de l'ombilic elliptique

Déploiement universel de l'ombilic elliptique
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique

Déploiement universel de l'ombilic hyperbolique
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Déformation universelle d'un point épais

Déformation universelle d'un point épais
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Fibration de Milnor

Fibration de Milnor
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Pli et fronce

Pli et fronce
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Théorème du nice range

Théorème du nice range
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élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction

élimination d'un couple de points singuliers d'une fonction
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Tangente à une courbe

Tangente à une courbe
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Espaces topologiques : recollement

Espaces topologiques : recollement
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Espace projectif réel P2 (R)

Espace projectif réel P2 (R)
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Complexes simpliciaux

Complexes simpliciaux
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Bande de M?bius

Bande de M?bius
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Carte de la sphère S2

Carte de la sphère S2
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Cylindre et bande de M?bius

Cylindre et bande de M?bius
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Courbe de longueur minimum

Courbe de longueur minimum
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Sphère de Riemann

Sphère de Riemann
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Géométrie de Lobatchevski

Géométrie de Lobatchevski
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Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)

Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann)
Crédits?: Encyclop?dia Universalis France

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Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)

Variation d'un vecteur sur une courbe (demi-plan de Lobatchevski)
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